Изоляция колонны. Популярно о теории теплопроводности.

При наличии перепада температур с разных сторон любого материала, происходит передача тепла от более нагретой стороны к менее нагретой.
Интенсивность передачи тепла через единицу площади материала прямо пропорциональна разности температур и обратно пропорциональна тепловому сопротивлению материала.
Точная аналогия закона Ома.
Ток (злектрический или тепловой) прямо пропорционален разности потенциалов (электрических или температурных) и обратно пропорционален сопротивлению (электрическому или тепловому).
Поэтому потоки тепла через изоляцию колонны можно с большой долей достоверности моделировать на основе аналогичных электрических процессов.
Вернемся к тепловым процессам.
Если с разницей температур всё ясно, то с тепловым сопротивлением нужно разобраться. Тут - тоже полная аналогия с электрическим сопротивлением проводников.

R = r x L / S

Электрическое сопротивление проводника прямо пропорционально удельному сопротивлению материала и длине проводника, и обратно пропорционально его площади.

Тепловое сопротивление материала прямо пропорционально его удельному тепловому сопротивлению и толщине слоя, и обратно пропорционально площади его сечения

Что за величина - удельное тепловое сопротивление? Это величина, обратная теплопроводности.

Теплопроводность наших материалов (взято здесь):
медь - 390 ватт/(м*градус)
нержавейка - 17,5
пенопласт - 0,05
воздух - 0,025
полиэтилен - 0,3

Их удельное тепловое сопротивление:
медь - 0,003 м*градус/ватт
нержавейка - 0,057
пенопласт - 20
воздух - 40
полиэтилен - 33

Перейдем к конкретике. Допустим, колонна из нержавейки толщиной 1,5мм покрыта пенопластом толщиной 3 см и вставлена в полимерную трубу толщиной 3 миллиметра. Температура воздуха составляет 25 градусов, а температура в трубе + 80.

Для начала пробьём упрошенный вариант, забудем, что труба не плоская. Позже, если понадобится, учтем и  это. А пока будем считать, что труба очень большого диаметра.

Итак, тепло проходит через бутерброд, состоящий из нержавейки, пенопласта, пластиковой трубы и некоторый (допустим миллиметра 2-3) слой неподвижного воздуха. Каждый слой этого бутерброда - тепловой резистор, имеющий своё сопротивление.
Посчитаем это сопротивление для единицы площади каждого слоя бутерброда.

Длины (толщины) я буду считать в метрах. На площадь не делю, она равна единице.

Сопротивление нержавейки R1 = 0,057 х 0,0015 = 0,00009 тепловых ом
сопротивление пенопласта R2 = 20 х 0,03 = 0,6
сопротивление обечайки  R3 = 33 х 0,003 = 0,1
сопротивление слоя воздуха R4 = 40 * 0,025 = 0,1

Наши сопротивления соединены последовательно, значит суммарное сопротивление бутерброда равно 0,80009 тепловых ом.

Разность потенциалов температур составляет 55 вольт градусов, значит ток потеря тепла через 1 м2 нашего бутерброда составит 55 : 0,80009 = 68,74 ампера ватта с каждого квадратного метра площади, или примерно 25 ватт для метровой колонны с указанными параметрами.

Это при очень большой трубе. Позже уточним для конкретных диаметров труб и толщин изоляций.

Теперь давайте выясним падение напряжений перепад температур на каждом слое бутерброда.

Ui=I x Ri

Падение температуры на нержавейке 68,74 х 0,00009 = 0,007 градуса
на пенопласте  68,74 х 0,6 = 41,2 градусов
на пластике    68,74 х 0,1 = 6,9 градуса
на воздушной оболочке  68,74 х 0,1 = 6,9 градуса

Значит при температуре воздуха 25 градусов, температура поверхности кожуха будет равна 32 градуса (очень похоже на правду), температура под кожухом - 39 градусов, а температура на поверхности нержавейки практически будет отличаться от температуры внутри её меньше, чем на 1/100 градуса.
Позже предполагаю поразмышлять о том, как правильно и как неправильно подогревать кожух.
Опять-же, опираясь на законы электричества.

Потрясающая разница в теплопроводности меди и нержавейки!

Она очень мало влияет на эффективность работы холодильников (ты об этом?). Тонкий неподвижный слой воды с очень маленькой теплопроводностью, покрывающий холодильник, практически уравнивает характеристики медных и нержавячих холодильников. Разница составляет процентов 15.
Расчет здесь. [сообщение #8607]

Игорь, чё то ты с воздухом намудрил... 
Или ты берёшь температуру кожуха равной комнатной (как граничное условие),
либо водишь тепловое сопротивление кожух-воздух (можно взять из справочника по рассчёту воздушных радиаторов),
и нужно учесть что труба не плоская а аксильно-симметрична...
На вскидку, для сопротивления цилиндрической теплоизоляционной трубы, должно получится что то типа:

сопротивление = 2*Pi*ro* ln(R/r)
R = ro * ln(r2/r1) / (2*Pi*L )

где
Pi = 3.14
ro - удельное тепловое сопротивление материала
ln - натуральный логарифм
r2 - внешний радиус изоляции
r1 - внутренний радиус
L  - длинна трубы изоляции
как то так... хорошо владеюшие интегралами поправят... 

Пересчитал интегралл на бумажке, что получилось показано выше... 

Воздух у него как-то странно считается, без толщины слоя. Но его сосчитать тяжело, основная теплопередача за счет конвекции, а колонну еще и потоком горячего воздуха от бака обдувает.

Воздух у него как-то странно считается, без толщины слоя. Rudy, 12 Февр. 09, 04:16

Ай, нехорошо! Невнимательно прочел! Там четко написано "... тепло проходит через бутерброд, состоящий из нержавейки, пенопласта, пластиковой трубы и некоторый (допустим миллиметра 2-3) слой неподвижного воздуха".
И в расчетную формулу вставлена толщина этого слоя 0,0025 метра.

...водишь тепловое сопротивление кожух-воздух ..... труба не плоская а аксильно-симметрична...
сопротивление = 2*Pi*ro* ln(R/r) ... натуральный логарифм... владеюшие интегралами поправят...  Kotische, 12 Февр. 09, 03:58

Котище, ты тоже невнимательно читал. Заголовок видел? Популярно. С максимумом допустимых упрощений. С максимальной привязкой к понятным процессам. С примером конкретного расчета. И так получилось перегружено на мой взгляд.

И согласиться с тобой о том, что температуру кожуха можно считать комнатной не могу никак!

Главное условие появления движения жидкости или газа, потока тепла или электрического тока - наличие разности потенциалов. Нет перепада давления/температуры/напряжения - нет будет соответствующего потока. И если температура кожуха будет равна температуре воздуха, значит изоляция колонны идеальна и потерь тепла нет. Но это не так.

Да, правильно было бы ввести краевой коэффициент для границы кожух - воздух, но нужно учесть условия работы граничной зоны, что хостаточно сложно. Поэтому честнее и прозрачней придумать некоторый условный слой неподвижного воздуха, который рассматривать как равноправный слой изоляции.

Игорь, хоть это ничего не меняет в твоих выводах, воздух так считать нельзя. Попробуй экспериментально оценить тепловое сопротивление воздуха между двумя небольшими горизонтальными металлическими пластинами при зазоре порядка 1 см для двух случаев - греется нижняя пластина и греется верхняя пластина. Разница будет раз в 100. Теплопередача в воздухе определяется, в основном, конвекцией.

Строго говоря, на любой поверхности всегда существует некоторый слой молекул воздуха, который неподвижен, и его смело можно считать частью изоляции, но дела не в этом.
Влияние воздуха на теплоизоляцию вообще посчитать нельзя - всего не учтешь. Можно только приближенно оценить. Оценить по приносимому результату.
Поэтому в термодинамике применяют граничные коэффициенты, не связанные с толщиной слоя материала. Но это уловка. Коэффициент теплового сопротивления умножают на условную величину неподвижного слоя воздуха и получают какую-то величину, имеющую размерность в ваттах на квадратный метр, то есть не связанную с толщиной слоя. То, как посчитал я, есть более честное воспроизведение такого способа.
Сделал я именно так потому, что не могу учесть всех условий обдува колонны. Поэтому я подобрал толщину воздушной подушки такой, чтобы в результате расчета температура  поверхности изоляции получилась грудусов на 5-10 теплее воздуха. На моей изоляции происходит именно так.

А пока я подбираю воронку (ведро без дна) для сбора над кубом теплого воздуха и трубу лоя кожуха. Если температура потока в кожухе будет градусов 70, я буду очень доволен. С таким способом обогрева можно применять изоляцию на колонне толщиной миллиметров 10.

Поэтому в термодинамике применяют граничные коэффициенты, не связанные с толщиной слоя материала. Но это уловка. Коэффициент теплового сопротивления умножают на условную величину неподвижного слоя воздуха и получают какую-то величину, имеющую размерность в ваттах на квадратный метр, то есть не связанную с толщиной слоя.Игорь, 12 Февр. 09, 17:18

Это правильно, но граничные терм. сопротивления применяют с обеих сторон композитной стенки, при этом должен учитываться характер границы сред. Допустим, в строительной теплофизике при расчёте термического сопротивления ограждающих конструкций для границы тв. поверхность-воздух граничное сопротивление принимается равным 0,0001 (m2*K)/W, а для тех же конструкций, но в зоне грунт. вод или для резервуаров для границы тв. поверхность-вода - уже 0,00001 (m2*K)/W, практически на порядок меньше. Кажется, что ерунда, влиянием можно пренебречь, но попробуйте забить расчёт в excell и поиграйте с этой цифрой - корелляция довольно таки заметная.
Кстати, когда я считал минимально необходимую площадь дефлегматора (экселовскую табличку прилагаю), я применял гран. сопротивления с обеих сторон охлажд. стенки дефлегматора.

Позже предполагаю поразмышлять о том, как правильно и как неправильно подогревать кожух.
Игорь, 12 Февр. 09, 01:50

Какие были добрые намерения.
А с пограничными слоями есть много пенок. Вода может принимать значения при охлаждении или +4, или сразу лёд. Всё остальное творится в очень тонком этом слоё.
з.ы. Оффтоп. Глупый вопрос из того же ИПФАНа.
Почему по ветру если говорить (кричать) слышно, а против нет

Игорь, вот я парочку страниц из книжки сканернул...
имхо, наш случай показан на рисунке 6.9 
правда в случае цилиндра работает только одна полуплоскость, так что видимо нужно результат умножить на два...

R = ro * ln(r2/r1) / (2*Pi*L )
Kotische, 12 Февр. 09, 03:58

Где-то ошибка закралась. Правильная формула при большом радиусе и малой толщине (плоская поверхность) должна принимать классический вид
R = ro * (r2-r1) / (2*Pi*L*r2 )
Сейчас погоняю в экселе.

Сейчас погоняю в экселе.Игорь, 13 Февр. 09, 03:58

Вот:

Странный эксель...
(r2-r2)/r2 всегда равен нулю, кроме случая, когда r2 равно нулю. А у тебя целая таблица ненулевых значений
А, понял, это у тебя очепятка.

Кстати, если ты разницу R будешь делить не на первое и не на второе R.ю а на среднее, то получишь результаты, повторяющие логарифм с поглешностью от нуля в первой строке до 3,32% в последней.

В расчетах изоляции трубопроводов я никогда не парюсь логарифмами и интергалами, а просто для расчета площади теплопотерь использую среднюю толщину изоляции.

Дык, это академику можно на глазок....
а мы жеж сотрудники научные.... 
Вон посчитал интеграл в уме (первый раз) видишь фигня какая получилас...   :'(

А по поводу трубопроводов... так там толщина изоляции много меньше толщины трубы...
а здетя типа лабораторная работа по предмету "Популярно о теории теплопроводности"... 

Я же собственно не настаиваю... просто вывел "точную" формулу для теплового сопротивления изоляции в форме трубы.
Вдруг кому то надо/интересно, а как интеграл брать забыл... 

Способ расчета свойств радиальной фигуры методом развертки широко распространен. При этом высота условного прямоугольника равна разности диаметров, а длина - периметру средней линии.

Таким способом, например, всегда считают площадь сечения тела трубы независимо от соотношения диаметра и толщины стенки.

Что же получается, Котище? Этот способ даёт погрешность тем большую, чем тоньше просвет в трубе?
Не может такого быть!

Способ расчета свойств радиальной фигуры методом развертки широко распространен. При этом высота условного прямоугольника равна разности диаметров, а длина - периметру средней линии.

Таким способом, например, всегда считают площадь сечения тела трубы независимо от соотношения диаметра и толщины стенки.

Что же получается, Котище? Этот способ даёт погрешность тем большую, чем тоньше просвет в трубе?
Не может такого быть!Игорь, 13 Февр. 09, 07:36

То что ты описал - нормальный приближенный способ рассчёта.
Для тонкостенных труб он дает весьма хорошую приближенную оценку.

Формула которую я привел - точная!. Она асимптотически стрмится к твоей формуле при уменьшении толщины стенки.

Игорь, я думаю раз ты уж достиг таких выдающихся успехов в химии, электронике и кибернетике...
пора браться за освоение дифур и матанализа! 

Для определния площади сечения твоя формула является точной!!!
точная аналитическая формула - S = Integral( 2*Pi*R*dr )[r2;r1] = 2*Pi*(r^2)/2 [r2;r1] = Pi * (r2^2+r1^2)
твоя формула - S = (r2-r1)*(2*Pi*(r2+r1)/2) = (r2-r1)*Pi*(r2+r1) = Pi*(r2^2-r1^2) - имеем ТОЖДЕСТВО!!!

А для случая с теплопроводностью под интегралом стоит другая функция
dR = ro * dr / (h*L) = ro * dr / (2*Pi*r*L)
R = Integral( dR )[r2;r1] = Integral( ro * dr / (2*Pi*r*L) )[r2;r1] = (ro * ln(r) / (2*Pi*L)) [r2;r1] = (ro/(2*Pi*L))*(ln(r2)-ln(r1)) = (ro/(2*Pi*L))*(ln(r2/r1)) - точная формула!
А то что приводил ты, в данном случае уже точным решением не является, но асимптотически к нему сходится при условии (r2-r1)<<(r2+r1)/2


ЗЫ: А для оценки изоляции трубопроводов логарифмы действительно не требуются и твоей приближенной формулы "выше крыши"... 

А для оценки изоляции трубопроводов логарифмы действительно не требуются и твоей приближенной формулы "выше крыши"...  Kotische, 13 Февр. 09, 08:00

Разумеется выше крыши, и не только для изоляции трубопроводов. Она подходит для любых тепловых расчетов.


Ты прав, твой расчет с логарифмами точный, а неточный вместо множителя 
Ln(r2/r1) подставляет приближенный 2(r2-r1)/(r2+r1)

Расчет по формуле без логарифмов даёт погрешность, которая при толщине изоляции меньше радиуса изолируемой трубы не превышает 4%. При толщине изоляции, равной диаметру трубы, погрешность доходит до 9% и можно к полученному результату сопротивления добавлять эти самые проценты. А можно и не отнимать.
При вычислении произведения двух чисел нет смысла стремиться к повышению точности одного из сомножителей, когда другой из них определен с меньшей точностью. А в наших расчетах имеется такой сомножитель, как удельное тепловое сопротивление (или теплопроводность), которое даже производители определяют с точностью + - десяток-другой процентов.

Для информации. При толщине изоляции, равной двум диаметрам трубы, сопротивление изоляции больше того, что даёт разверточный расчет, на 17%. Если поправку не учитывать, изоляция получается "теплее", чем ожидалось.

точная аналитическая формула - S = Integral( 2*Pi*R*dr )[r2;r1] = 2*Pi*(r^2)/2 [r2;r1] = Pi * (r2^2+r1^2) Kotische, 13 Февр. 09, 08:00

Ну ты любитель решать всё сложно!
Ведь есть прямой простой путь. Сечение металла трубы - это сечение болванки Sн=Рі*Rн^2 минус сечение дырки Sв=Рі*Rв^2,
S = Рі * (Rн^2 - Rв^2)или (разность квадратов) Рі * (Rн+Rв)* (Rн-Rв)
Рі * (Rн+Rв) - это длина развертки по среднему диаметру, а (Rн-Rв) - это толщина стенки.
Расчет площади по развертке в точности соответствует расчету по диаметрам.

 Мужики! можно ГОЛОС  ,я тут (по Штирлицу.. ВЫВЕЛ ПАРУ ФОРМУЛ ),а если серьезно,то на можечек пришла мысля,раньше использовались для разморозки батарей отопления -ленточные нагреватели,а если сим обмотать колону и утеплить и через регулятор напруги управлять процессом...(прошу ногами не бить )

Котище обмотал проводом колонну и греет ее.
Но даже небольшой перегрев колонны так же неприятен, как и небольшое охлаждение через изоляцию. Поэтому наверное правильней греть не колонну, а теплоизоляционный кожух, поддерживая на поверхности или в середине изоляции температуру, близкую к температуре в колонне. Это снизит перепад температуры в изоляции и соответственно снизит потери.
Точно управлять этим процессом сложно, поскольку каждый уровень колонны требует своей температуры.